数值积分
近似值的数值方法，适用于原函数无法用初等函数表示、函数仅知离散点取值或涉及高维流形的情形，其原理基于
，借助电子计算设备实现复杂积分运算。该方法核心思想是用简单函数（如多项式）代替原函数进行积分，主要包括插值型求积公式与代数精度判定体系。
、辛普森公式等低阶形式，通过复化求积法提升精度；龙贝格算法采用变步长策略加速收敛；高斯型求积公式通过优化节点位置实现更高代数精度
。随着算法演进，基于聚类分析的自适应算法通过区域划分与精度优化，显著提高了计算效率
。特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式(Trapezoidal Approximations)与抛物线公式(Approximations Using Parabolas)就是最基本的近似公式。但它们的精度较差。
获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用
当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分。数值积分还是微分方程数值解法的重要依据。许多重要公式都可以用数值积分方程导出。
之上。然而，原函数可以用初等函数表示的函数为数不多，大部分的可积函数的积分无法用初等函数表示，甚至无法有解析表达式。例如常见的
不仅如此，在很多实际应用中，只能知道积分函数在某些特定点的取值，比如天气测量中的气温、
的解。由于很多微分方程只能数值求解，因此只能知道函数在某些点上的取值。这时是无法用求原函数的方法计算函数的积分的。
，以转化为较低维数上的积分，但只能用于少数情况。因此，只能使用数值积分计算函数的近似值。
(k=0,1，…，m)精确成立，亦即E(f)=0，而当时k=m+1时（2）不再是精确等式，则说求积公式（2）的代数精度是m。根据K.魏尔斯特拉斯的“
f而言，m越大E(f)越小，因此可以用代数精度的高低说明求积公式的优劣。
矩形法是一种常见的数值积分方法，用来计算一维定积分的近似值。矩形法的主要思想是将积分区间I=[a,b]分割成许多足够小的分区间的总和：
），并将分区间的长度乘以积分函数在这一点上的值，以近似得到函数在这一段小区间上的积分。直观上来看，就是取一个矩形，用它的面积来代替积分函数的曲线在这一小段区间上围出来的曲边梯形的面积。总体上，将所有这样的矩形面积加起来（这个和称为
根据黎曼积分的定义，只要区间被分得足够精细，那么这样的分割所得到的黎曼和会无限趋近于函数的积分。
另一种数值积分的思路是用一个容易计算积分而又与原来的函数“相近”的函数来代替原来的函数。这里的“相近”是指两者在积分区间上定积分的值比较接近。最自然的想法是采用
（取每个小区间两端点，做成梯形，梯形的值也和矩形一样，趋于原来的函数的积分）。
），恰当选择这些参数，能使公式的代数精度达到2m+1。高斯求积理论中的一个基本定理断言：只要把结点
)为取正值的权函数。许多有关数值积分的论著都列举出各种高斯型公式的结点和系数的数值。可以证明：对每个
，当结点个数趋于无穷时，高斯型公式所给出的近似值序列收敛到相应积分的精确值，而牛顿－科茨公式则不具有这种性质。
