数字积分法插补原理 数字积分法：也称 DDA 法 Digital Differential Analyzer) ，它是建立在数字积分器基础上的一种插补算法，其最大特点是易于实现多坐标插补联动，它不仅能实现平面直线、圆弧的插补，而且还可实现空间曲线的插补，在轮廓控制数控系统中得到广泛应用。以下首先介绍数字积分器的工作原理，然后介绍数字积分法的直线和圆弧插补方法。 一、数字积分器的工作原理 如图 3 — 8 所示，求函数 在区间 的定积分，就是求函数在该区间内与 t 轴所包围的面积，即 若将积分区间 等分成很多小区间 ( 其中 ) ，则面积 S 可近似看成为很多小长方形面积之 和，即 如将 取为一个最小单位时间 ( 即一个脉冲周期时间 ) ，即 ，则 因此函数的积分运算变成了函数值的累加运算，当 足够小时，则累加求和运算代替积分运算所引入的误差可以不超过所允许的误差。 积分运算的原理图如图 3 — 9 所示，它由一个被积函数寄存器 ，一个累加器 ( 又称余数寄存器 ) 和一个全加器 ，构成。每当出现一个 信号，便将被积函数寄存器 中的 值与累加器中的值累加一次。若累加器 的容量作为一个单位面积值，则在累加过程中累加器 的累加和超过累加器 的容量时，累加器便溢出一个脉冲，此脉冲即为一个单位面积值，累加结束后，累加器 总的溢出脉冲数即为所求面积积分的近似值。 其图 3 — 9 积分运算原理图累加次数取决于寄存器的位数。 二、数字积分法的直线 所示，设直线 oA 为第一象限的直线，起点为坐标原点 o(0 ， 0) ，终点坐标为 A 。 该直线的方程式为 将上式化为以时间 t 为参量的参数方程： 式中， k 为比例系数。对上两式取微分得 ： 求上两式在 o 到 A 区间的定积分得 ： (3 — 7) 式中 和 分别对应起点和终点的时间。上式即为用数字积分法求 x 和 y 在区间 的定积分，积分值即为由 o 到 d 的坐标增量。因积分起点为坐标原点，所以此坐标增量即为终点坐标。 将式 (3-7) 用累加和代替积分式得 (3-8) 式中， k 、 、 均为常数。 若取 为一个脉冲时间间隔，即 =1 ，则 (3-9) 由上式有 kn=1 ，即 k=1 ／ n (3 -10a ) (3-10b) 选择 k 时应使每次增量 和 均小于 1 ，以使在各坐标轴每次分配进给脉冲时不超过一个脉冲 ( 即每次增量只移动一个脉冲当量 ) ，即 , (3-11) 及 的最大允许值，受到寄存器容量的限制。设寄存器的字长为 N ，则 及 的最大允许值为 。为满足式 (3 — 11) 的条件： 即要求 通常取 则 这样既决定了系数 ，又保证了 和 均小于 1 的条件。 由式 (3 — 10a ) ， ，故累加次数为 ： 取 为一个脉冲时间间隔 ( 即 ) ，则由式 (3 — 8) 有 将 代人上两式，则 (3 — 12) 式 (3-12) 表明，可用两个积分器来完成平面直线的插补计算，其被积函数寄存器的函数值分别为 和 。对二进制数 ，即相当于 的小数点左移 N 位，因此在 N 位寄存器中存放 与存放 的数字是相同的，仅仅只要认为后者的小数点在最高位的前面。因此，进行数字积分法的直线插补计算时，应分别对终点 和终点 进行累加，累加器每溢出一个脉冲，则控制机床在相应的坐标轴上进给一个脉冲当量。当累加 次后， z 轴和 y 轴所走的步数正好等于各轴

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